「場合の数」はかなり多くの受験生が苦戦する単元です。

今回ご紹介する「場合の数」、そして「規則性」や「条件整理・推理」では、入試レベルでは大人でも解けないような問題が出題されます。

どんなに算数が得意な受験生でも、これらの単元は比較的苦手としていることが多いです。

今回は、小４、小５、小６の「場合の数」が苦手な受験生を対象として、「場合の数」の基本を理解し、中程度～応用のレベルの問題を解けるようになるために意識して欲しいことをご紹介します。

「場合の数」に強くなるためのポイント

その１：すべて書き出してみる！

「場合の数」が苦手なのであれば、すべて書き出してみる経験が必要です。

特に小4、小５の時期であれば、まだ時間に余裕がありますので、すべて書き出す経験をしたほうがよいでしょう。

「場合の数」では、並べ方や選び方の計算方法を学習しますが、その計算がなにを意味しているのかを理解せずに計算している受験生が大半です。
その結果、かけ算しなければいけないところで、たし算をしてしまうようなミスが多発します。

すべて書き出す中で「この計算はこれを計算しているのか！」という気づきが生まれ、基本を理解できるようになります。

「こんなの調べなくても計算で求めればいいじゃん！」と思うような問題でもスラスラと確実に調べることができるか確かめてみましょう。

それができないのであれば、自分がなにを計算しているのかを完璧に理解しているわけではないということになります。

その２：計算手順を絶対に覚えないようにする！

「場合の数」に限らず絶対にやってはいけないこととして、計算手順を覚えてしまうことが挙げられます。

正確には、

「”ならべ方”というワードがあったらかけ算だよ！」
「”ぬり分け問題”はかけ算で考えらればいい！」

というように、〇〇の場合は▲▲をすればよい、といった覚え方をしてはいけません。
特に、小４、小５の序盤の段階でこのような学び方をしてしまうと、その時期に学習する問題がシンプルで簡単であるがゆえに、上記ようなルールで正解を出すことができてしまい、自分がなにを計算しているのかわからないまま学習を終えてしまうことになるからです。

その結果、月例テストや模試になると場合の数が壊滅的になってしまうことでしょう。

「場合の数」を学習し始めた段階から、すべて書き出す経験をし、それを求めるために計算しているのだと理解することが大切です。

その３：解説はじっくり読んで完璧に理解する。必要なら親がサポート

解説には、どんな計算をして答えを求めるかが書いてあります。

しかし、なぜその計算をするのかという理由はかなり簡易的になっている、もしくは省略されていることが多いです。

つまり、上でご紹介したような、なぜその計算をするのかということを理解していることを前提として、
「この計算をするってことは、これを求めているのか」
という推理力も求められます。

しかし、「場合の数」が苦手なお子さんが自力でそれを理解することはかなり難しいことです。

保護者の方が一緒に問題を考え、その計算がなにを意味しているのかをかみ砕いて伝えてあげる必要があります。

その４：根気よく調べようとする気持ちが大切

基本が理解できたら、応用問題を解いていかなければなりません。

その際、「どんな計算をするのか？」を出発点として考えてしまう受験生が大変多いです。

しかし、応用問題では、
・部分的にかけ算で求められるが、独立しているものは足し合わせる必要があるもの
・かけ算では求められないもの
など、複雑なものを丁寧に紐解いていく必要がある問題が多数存在します。

つまり、「どんな計算をするのか？」ではなく、「どんなものを調べるように求められているのか」を出発点として考えなければいけません。

このように考えれば、一旦少し書いて調べてみることになるはずです。

少し書いて調べていく中で、
「ここはならべ方だから計算しちゃおう！」
「ここはさっき調べたやつと同じだ！」
「この場合を除けばもしかして計算で求められる…？」
といったようなことに気づくことができます。

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「ならべ方＆和」のしっかり理解したい例題５選！

例題①：人のならび方

問題：A君、B君、C君、D君の４人が横１列に並びます。４人の並び方は何通りありますか。

場合の数をある程度勉強した受験生であれば、

一番左は誰でもいいので4通り、2番目は1番左以外の3通り、3番目は残り2人の2通り、4番目は残り1人が必然的に決まるので、

４×３×２×１＝24（通り）

とさらっと求めることができるでしょう。

言葉で理解することも大切ですが、以下のようなイメージを浮かべられるようにしておくことが重要です。

ならべ方の問題では、まずは場所を確保してあげると考えやすくなります。

下の図のように、左から1番目の場所にAがいるとすると、左から2番目の場所にはB、C、Dがきます。

このように考えると、左から1番目の場所にAがいる場合は、6通りのならび方があります。

同様に考えると、全体では以下のようになります。

上の画像（樹形図）の一番右の列に何個文字があるかを数えるのと同じだということが分かります。

そう考えれば、一番左には４つあって、左から2番目は４つそれぞれが３つに分かれて、左から3番目はさらにそれが２つに分かれて、ということになるので、視覚的にも

４×３×2＝24（通り）

という計算に納得できるはずです。

このように、自分がなにを計算しているのかをイメージできるようにしておくことが大切です。

例題②：道順（かけ算メインのもの）

A地点からB地点までが3通り、B地点からC地点までが5通りですので、

３×５＝１５（通り）

です。

この問題も、上記の計算がなにを意味しているのかを理解しておくことが大切です。

まずは道に以下のように名前を付けてみます。

このようにすれば、A地点からB地点に行くときに通る道、B地点からC地点に行くときに通る道の組み合わせを以下のように考えることができます。

先ほどの問題と同じように、「A地点からB地点に行くときに通る道」と「B地点からC地点に行くときに通る道」の置き場所を考え、そこに何が入るのかを樹形図で考えます。

“い”以降も”あ”と同様に5通りありますから、

３×５＝１５（通り）

となります。

例題③：整数の作り方

問題：０、１、２、３、４、５の6枚のカードがあります。このうち３枚をならべて３ケタの整数を作ります。整数は何通り作れますか。

本問も慣れている受験生であれば、

５×５×４＝100（通り）

と素早く計算できることでしょう。

これも例題①、例題②と同じように考えることができます。

まずは以下のように各位の場所を作ります。

この枠に、０、１、２、３、４、５の6枚のカードのどれを置くことができるかということを考えていきます。
そうすると、以下のように樹形図で調べることができます。

０から始まる100以上の整数は存在しないため、百の位に「０」を置くことはできない点に注意しましょう。

百の位に１、十の位に０を置くと、一の位には2,3,4,5の4通りを置くことができます。
百の位に１、十の位に2,3,4,5を置いた場合も同様に4通り置くことができると考えられます。
つまり、百の位に１を置いた時、全部で

５（十の位の個数）×４（一の位の個数）＝２０（通り）

が考えられます。

よって、百の位には1,2,3,4,5の5通りを置くことができるので、

５×２０＝１００（通り）

が答えです。

最初の５×５×４＝100（通り）と計算の順番は異なりますが、同じものを求めています。

例題④：ぬり分け

色のぬりわけ問題も、難しい問題を除けば、これまでと同じように考えることができます。

慣れていれば、Aの色は3色のどれでもよく、BはAで使った色以外の2色、CにはBで使った色以外の2色、DにもCで使った色以外の2色を使うことができるので、

３×２×２×２＝24（通り）

と求めることができます。

ただし、ぬりわけの問題は、使える色の数に指定があったり、２つの箇所と隣り合うような場合がありますので、その時々の条件に応じてどのように調べ、計算するのかを適切に考えなければいけません。

そのためにも、このような初歩的なレベルの問題のうちから、以下のようなイメージを浮かべられるようにしておくことが大切です。

上のように樹形図を書くと、Aをぬる色を赤として考えると、ひとつ右にいくにつれて、必ず２つにわかれていくことが分かります。

つまり、Aを赤でぬる時、

２×２×２＝８（通り）

で、Aは赤、青、黄の3色をぬることができますから、

８×３＝24（通り）

と求めることができます。

Aをぬる色から考えていけば、

３（A）×２（B）×２（C）×２（Ｄ）＝24（通り）

と計算で一発で求めることもできます。

ただし、場合の数が苦手なお子さんは、慣れていないうちは、自分が計算しているものが確かなものか検証できないことがありますので、絶対に「これはこう計算すればいい！」と覚えないようにしましょう。

例題⑤：道順（ごばんの目）

このくらいシンプルな問題であれば、多くの受験生が素早く数字を以下のように書き込み、さらっと解けるかもしれません。

ただし、この数字がなにを意味しているのかをパッとイメージできなければ、応用問題を解けません。

以下の図のように、数字はそこにたどり着くことができる最短の道順の数を示していることを理解しておきましょう。

しっかりと意味を理解していれば、以下のような問題にも対応可能なはずです。

まずは工事中の×以外の箇所に数字を書き込む解き方で考えます。

青色の？マーク以外の箇所は工事中の×に関係なくたどりつくことができますので、先ほどと同様の手順で以下のように数字を書きましょう。

青色の？マークの箇所はどのように考えればいいのでしょうか。

シンプルに「どの地点からそこにたどりつくことができるか」を考えると、まずは以下のようにしか移動できないはずです。

そして、以下のように答えを求めることができます。

他には「工事中の×を必ず通る行き方求め、すべての行き方から引いて求める」方法もあります。

以下のように、工事中の箇所の手前の地点までへの行き方は６通り、工事中の箇所を通った先にあるC地点からB地点までの行き方は２通りです。

つまり、工事中の×の箇所を必ず通るA地点からB地点までの行き方は

６×２＝１２（通り）
※これがなぜかけ算になるのかパッとしない受験生は、例題②のように行き方に名前をつけて考えてみましょう。

すべての行き方は３５通りとわかっていますから、

３５ー１２＝２３（通り）

と求めることができます。

「組み合わせ方」をしっかり理解したい例題６選！

例題①：区別された複数の中から組み合わせを選ぶ

問題：A、B、C、D、E、Fの６人の中から、委員会のメンバーを２人選びます。２人の選び方は何通りありますか。

先ほどまでの問題と異なる点は、置き場所に名前が同じで区別することができない点です。

つまり、以下のようなならべ方は同じものとしてカウントされてしまいます。

ならべ方を考えると、

６×５＝30（通り）

ですが、上のように同じものを２つ数えてしまっているため、

３０÷２＝１５（通り）

となります。

これを公式として、

★個の中から2個を選ぶときの選び方は

★個の中から3個以上を選ぶ場合も同じように、以下のようになります。

3人を選ぶ場合で考えてみると、以下のように同じ組み合わせを6個数えていることになってしまいますから、分母もかけ算を増やしていく必要がありますね。

例題②：区別されていない複数の中から組み合わせを選ぶ

問題：赤いペンが４本、青いペンが３本、黄色いペンが１本あります。これらの８本の中から３本を選ぶとき、その３本の色の組み合わせは何通りありますか。

この問題では、置き場所も区別することができませんし、さらに、選ぶものも、赤いペン4本、白いペン3本を区別することができません。
さらに、この8本すべてを使うわけでもありません。

こういった場合は樹形図で丁寧に調べましょう。

必ず「赤⇒青⇒黄」の順で調べなければいけません。
例えば「青⇒赤」「黄⇒青」のように書き出してしまうと、すでに調べた組み合わせと重複してしまいます。

答えは7通りです。

例題③：区別できないものをならべる

問題：赤いボールが3個、青いボールが2個あります。これらの５個のボールをならべるとき、ならべ方は何通りありますか。

このような問題では、ならべ方の問題同様、まずは置き場所を考えます。

下の図のように、左から①～⑤の番号を振ります。

そして、この5か所のうち、どの2か所に青いボールを置くかを考えます。

つまり、①、②、③、④、⑤の5か所の中から、青いボールを置く2か所を選ぶことになります。

これは例題①と同じ考え方です。

よって

例題④：数に制限がないもしくは選ぶ数より多いものから組み合わせを考える

問題：赤いボールを10個、青いボールを10個、黒いボールを10個持っています。
この中から、5個のボールを選びます。全て同じ色でもOKです。5個のボールの選び方は何通りありますか？

5個のボールを選びますが、それぞれの色のボールは10こずつあり、5個のボールすべてが同じ色でも問題ありません。

このような場合は、5個のボールと、２つの仕切りを使って考えます。

２つの仕切りで3か所の空間にわけることができます。
一番左の空間にあるボールは赤色、真ん中にあるボールは青色、右にあるボールは黄色とします。
例えば以下のようなイメージです。
すべて同じ色でもよいことに注意しましょう。

これにより、５つのボールと２つの仕切りのならべ方を考えれば、そのならべ方の結果に応じてボールが勝手に赤、青、黄色になってくれると考えます。

５つのボールと２つの仕切りのならべ方は例題②と同じく、7つの置き場所を考え、その中から、２つの仕切りの置き場所を考えます。（５つのボールの置き場所を考えてもOKです。同じ結果になります。）

よって以下のように答えを求めることができます。

例題⑤：場合分けをして考える

問題：Aと書かれたカードが１枚、Bと書かれたカードが２枚、Cと書かれたカードが３枚、Dと書かれたカードが４枚、Eと書かれたカードが5枚あります。この10枚の中から５枚を選びます。選び方は何通りありますか。

この問題は例題②の問題とほぼ同じ問題です。
ただ、与えられたカードの種類、数、選ぶ枚数が多くなっています。

こういった場合は場合分けをして考えましょう。

例題②と同様に書き出そうとすると、かなりのボリュームになってしまいます。

書き出しても問題ありませんが、慣れれば場合のわけのほうが早く、ミスを検証しやすくなります。

同じものをつかってもよい５枚の組み合わせとしては、

（５）
（４、１）
（３、２）
（３、１、１）
（２、２、１）
（２、１、１、１）
（１、１、１、１、１）

の７通りがあります。

★（５）＝５枚すべて同じとき
すべてEの１通り。

★（４、１）＝４枚と１枚
同じ４枚のカードがD、Eそれぞれの場合がある。

よって

４×２＝８（通り）

★（３、２）＝３枚と２枚

３枚のカードとして選ぶことができるのはC、D、Eの３種類です。

Cを３枚として選んだ場合、２枚の同じカードにはB、D、Eを選べます。
同じように、Dを３枚として選んだ場合はB、C、Eを、Eを３枚として選んだ場合はB、C、Dを選ぶことができます。

よって、

３×３＝９（通り）

★（３、１、１）＝３枚と異なる２枚

（３枚、１枚、１枚）の３種類のカードを使う場合です。

先ほどと同じように、同じ３枚のカードとして選ぶことができるのは、C、D、Eの３種類です。

Cを３枚のカードとして選んだ場合、④、⑤には異なるカードを選ぶ必要があります。

ただし、④にB、⑤にDを選んだ場合と、④にD、⑤にBを選んだ場合では、組み合わせは同じになってしまいます。

つまり、A、B、D、Eの４種類から、④⑤に使う２種類を選びます。

３×６＝１８（通り）

と求められます。

■（２、２、１）＝２枚ペアが２つと１枚

２枚使うカードはB、C、D、Eから２つ選びます。

残りの１枚には、A～Eの５種類の中からすでに選んだ２つを除いた３種類を使うことができます

よって、

６×３＝１８（通り）

★（２、１，１，１）＝２枚は同じで他はすべて異なる

２枚使うカードはB、C、D、Eの４種類から１つ選ぶので４通り。

残りの３枚は、残った４種類のうちから３つを選ぶ。

使わない１種類を選ぶのと同じなので、４通り。

よって

４×４＝１６（通り）

★（１、１、１，１，１）＝すべて異なるカード

A、B、C、D、Eをそれぞれ１枚ずつ使う１通りです。

よって以上のすべての場合を足し合わせて、

１＋８＋９＋１８＋１８＋１６＋１＝７１（通り）

問題：A、B、C、D、E、F、G君の7人が3人が泊まれる部屋「さくら」と5人が泊まれる部屋「うめ」に宿泊します。7人の泊まり方は何通りありますか。

「さくら」と「うめ」で合計８人宿泊可能です。
つまり、「さくら」に２人泊まる場合、「さくら」に３人泊まる場合で場合分けして考えます。

■「さくら」に２人、「うめ」に５人泊まる場合

A～G君の中から、さくらに泊まる２人を選べば、残りの人はうめに泊まることになります。

よって

■「さくら」に３人、「うめ」に４人泊まる場合

A～G君の中から、さくらに泊まる３人を選べば、残りの人はうめに泊まることになります。

よって、

21＋35＝56（通り）

例題⑥：リーグとトーナメント

問題：A～Eの5人がじゃんけん大会を開催します。あいこで終わらず、必ず勝敗をつけるものとします。
（１）自分以外の全員とじゃんけんをする場合、全部で何試合行われますか。
（２）トーナメント形式で大会を開催する場合、優勝が決まるまでに何回じゃんけんが行われますか。

まず（１）の全員とじゃんけんをする場合を考えます。
リーグ戦（総当たり戦）と呼ばれます。

よく以下の表で表されます。

斜線を引いたマス以外は試合があることを意味していますが、「BはAに勝った。」「AはBに負けた。」というのは同じ試合のことを言っていますので、試合数の2倍のマスがあることになります。

マスは20個ですから、その半分の10試合が答えです。

また、A、B、C、D、Eが誰と対戦するかを樹形図で表すと下図のとおりです。

これでも10通りとわかります。

これらは、A、B、C、D、Eの5人から対戦する2人を選ぶと考えることができますので、

次に（２）のトーナメント戦を考えます。
トーナメント戦とは勝ち抜き戦のことです。

今回の5人でトーナメント戦をすると、以下のようになります。

つまり、4試合行われます。

試合を「負けを1人（チーム）決めるもの」と考えてみましょう。

AとBのじゃんけんではBの負けが決まり、CとDのじゃんけんではDの負けが決まりました。

つまり、優勝を決めるまでトーナメント戦をする際に行われる試合数は、参加するチーム（人）の数から１（優勝者）を引いた数になります。

Nチームが参加するトーナメント戦の試合数は「Nー１（試合）」で求めることができます。

例題⑦：道順（ごばんの目）を組み合わせで考える

すでに扱った以下の問題を組み合わせで考えてみましょう。

A地点からB地点にたどり着くためには、必ず右に４回、上に３回移動しなければいけません。

つまり、（右①、右②、右③、右④、上①、上②、上③）の７つのならべ方を考えればよいということになります。

以下のように２つの例を考えてみると納得がいくかもしれません。

したがって、右①、右②、右③、右④、上①、上②、上③のならべ方を考えます。
ただし、右は必ず①、②、③、④の順にならぶ必要があり、上も①、②、③の順にならぶ必要があります。

右③、右①、右④、右②、左③、左②、左①
のようなならびだと、行き方として成立しないためです。

よって、７つの置き場所を考え、その中から、左①、左②、左③の置き場所を選べばよいということになります。
左①、②、③の場所を決めてしまえば、右①、②、③、④の場所は残りの４か所で決まり、左も右も左から順番に①、②・・・と番号は勝手に決まるためです。

よって

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